Exerciții pe fracții cu numitori diferiți. Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice: reguli, exemple. Adunarea și scăderea fracțiilor

Acest articol începe studiul operațiilor cu fracții algebrice: vom lua în considerare în detaliu operații precum adunarea și scăderea fracțiilor algebrice. Să analizăm schema de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu aceiași și diferiți numitori. Să învățăm cum să adunăm o fracție algebrică cu un polinom și cum să le scădem. Folosind exemple specifice, vom explica fiecare pas în găsirea soluțiilor la probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Operații de adunare și scădere cu numitori egali

Schema de adunare a fracțiilor obișnuite este aplicabilă și celor algebrice. Știm că atunci când adăugați sau scădeți fracții comune cu numitori similari, trebuie să adăugați sau să scădeți numărătorii lor, dar numitorul rămâne același.

De exemplu: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 și 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

În consecință, regula pentru adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori similari este scrisă într-un mod similar:

Definiția 1

Pentru a adăuga sau scădea fracții algebrice cu numitori similari, trebuie să adunați sau să scădeți numărătorii fracțiilor originale și să scrieți numitorul neschimbat.

Această regulă face posibilă concluzia că rezultatul adunării sau scăderii fracțiilor algebrice este o nouă fracție algebrică (într-un caz particular: un polinom, monom sau număr).

Să indicăm un exemplu de aplicare a regulii formulate.

Exemplul 1

Fracțiile algebrice date sunt: ​​x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 și 3 - x · y x 2 · y - 2 . Este necesar să le adăugați.

Soluţie

Fracțiile originale conțin aceiași numitori. Conform regulii, vom efectua adunarea numărătorilor fracțiilor date și vom lăsa numitorul neschimbat.

Adunând polinoamele care sunt numărătorii fracțiilor originale, obținem: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Apoi suma necesară va fi scrisă ca: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

În practică, ca în multe cazuri, soluția este dată de un lanț de egalități, arătând clar toate etapele soluției:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Răspuns: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Rezultatul adunării sau scăderii poate fi o fracție reductibilă, caz în care este optim să o reduceți.

Exemplul 2

Este necesar să scădem fracția 2 · y x 2 - 4 · y 2 din fracția algebrică x x 2 - 4 · y 2 .

Soluţie

Numitorii fracțiilor originale sunt egali. Să facem operații cu numărători și anume: scădem numărătorul celui de-al doilea din numărătorul primei fracții, apoi scriem rezultatul, lăsând numitorul neschimbat:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Vedem că fracția rezultată este reductibilă. Să o reducem transformând numitorul folosind formula diferenței pătrate:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Răspuns: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Folosind același principiu, se adună sau se scad trei sau mai multe fracții algebrice cu aceiași numitori. De exemplu:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Operatii de adunare si scadere cu numitori diferiti

Să ne uităm din nou la schema de operații cu fracții obișnuite: pentru a adăuga sau scădea fracții obișnuite cu diferiți numitori, trebuie să le aduceți la un numitor comun și apoi să adăugați fracțiile rezultate cu aceiași numitori.

De exemplu, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 sau 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

De asemenea, prin analogie, formulăm regula pentru adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori:

Definiția 2

Pentru a adăuga sau scădea fracții algebrice cu numitori diferiți, trebuie:

• aduceți fracțiile originale la un numitor comun;
• efectuați adunarea sau scăderea fracțiilor rezultate cu aceiași numitori.

Evident, cheia aici va fi abilitatea de a reduce fracțiile algebrice la un numitor comun. Să aruncăm o privire mai atentă.

Reducerea fracțiilor algebrice la un numitor comun

Pentru a aduce fracțiile algebrice la un numitor comun, este necesar să se efectueze o transformare identică a fracțiilor date, în urma căreia numitorii fracțiilor originale devin aceiași. Aici este optim să folosiți următorul algoritm pentru reducerea fracțiilor algebrice la un numitor comun:

• mai întâi determinăm numitorul comun al fracțiilor algebrice;
• apoi găsim factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții împărțind numitorul comun la numitorii fracțiilor originale;
• Ultima acțiune este de a înmulți numărătorii și numitorii fracțiilor algebrice date cu factorii suplimentari corespunzători.

Fracțiile algebrice sunt date: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a și a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Este necesar să le aducem la un numitor comun.

Soluţie

Acționăm conform algoritmului de mai sus. Să determinăm numitorul comun al fracțiilor originale. În acest scop, factorizăm numitorii fracțiilor date: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) și 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). De aici putem scrie numitorul comun: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Acum trebuie să găsim factori suplimentari. Să împărțim, conform algoritmului, numitorul comun găsit în numitorii fracțiilor originale:

• pentru prima fracție: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• pentru a doua fracție: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• pentru a treia fracție: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Următorul pas este înmulțirea numărătorilor și numitorilor fracțiilor date cu factorii suplimentari găsiți:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Răspuns: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Deci, am redus fracțiile originale la un numitor comun. Dacă este necesar, puteți converti în continuare rezultatul rezultat în formă de fracții algebrice prin înmulțirea polinoamelor și monomiilor în numărători și numitori.

Să lămurim și acest punct: este optim să lăsăm numitorul comun găsit sub formă de produs în cazul în care este necesară reducerea fracției finale.

Am examinat în detaliu schema de reducere a fracțiilor algebrice inițiale la un numitor comun. Acum putem începe să analizăm exemple de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplul 4

Fracțiile algebrice date sunt: ​​1 - 2 x x 2 + x și 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Este necesar să se efectueze acțiunea de adăugare a acestora.

Soluţie

Fracțiile originale au numitori diferiți, așa că primul pas este să le aduceți la un numitor comun. Factorăm numitorii: x 2 + x = x · (x + 1) , și x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) , deoarece rădăcinile unui trinom pătrat x 2 + 3 x + 2 aceste numere sunt: ​​- 1 și - 2. Determinăm numitorul comun: x (x + 1) (x + 2), atunci factorii suplimentari vor fi: x+2Și -X pentru prima și respectiv a doua fracție.

Astfel: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) și 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Acum să adăugăm fracțiile pe care le-am adus la un numitor comun:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Fracția rezultată poate fi redusă printr-un factor comun x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

Și, în final, scriem rezultatul obținut sub forma unei fracții algebrice, înlocuind produsul din numitor cu un polinom:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Să notăm soluția pe scurt sub forma unui lanț de egalități:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Răspuns: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Atenție la acest detaliu: înainte de a adăuga sau scădea fracții algebrice, dacă este posibil, este indicat să le transformați pentru a le simplifica.

Exemplul 5

Este necesară scăderea fracțiilor: 2 1 1 3 · x - 2 21 și 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Soluţie

Să transformăm fracțiile algebrice originale pentru a simplifica soluția ulterioară. Să luăm din paranteze coeficienții numerici ai variabilelor din numitor:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 și 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Această transformare ne-a avantajat clar: vedem clar prezența unui factor comun.

Să scăpăm cu totul de coeficienții numerici din numitori. Pentru a face acest lucru, folosim proprietatea principală a fracțiilor algebrice: înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 3 4, iar pe a doua cu - 1 2, apoi obținem:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 și 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Să efectuăm o acțiune care ne va permite să scăpăm de coeficienții fracționali: înmulțiți fracțiile rezultate cu 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 și - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

În cele din urmă, să efectuăm acțiunea necesară în enunțul problemei - scădere:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Răspuns: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice și polinoamelor

Această acțiune se rezumă și la adunarea sau scăderea fracțiilor algebrice: este necesar să se reprezinte polinomul original ca o fracție cu numitor 1.

Exemplul 6

Este necesar să adăugați un polinom x 2 − 3 cu fracția algebrică 3 x x + 2.

Soluţie

Să scriem polinomul ca o fracție algebrică cu numitorul 1: x 2 - 3 1

Acum putem efectua adunarea conform regulii de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Răspuns: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Adunarea fracțiilor cu numitori similari

Există două tipuri de adunări de fracții:

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi, să învățăm adunarea fracțiilor cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Adăugați fracții și .

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție improprie. Când vine sfârșitul sarcinii, se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte a acesteia. În cazul nostru, întreaga parte este ușor de izolat - doi împărțiți la doi egal cu unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim despre o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum să învățăm cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii fracțiilor trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi ne vom uita doar la una dintre ele, deoarece celelalte metode pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode este că mai întâi se caută LCM al numitorilor ambelor fracții. LCM este apoi împărțit la numitorul primei fracții pentru a obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar.

Numătorii și numitorii fracțiilor sunt apoi înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Să adăugăm fracțiile și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum să revenim la fracții și . Mai întâi, împărțiți LCM la numitorul primei fracții și obțineți primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul multiplicator suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, faceți o linie oblică mică peste fracție și notați factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul 3 rezultat este al doilea multiplicator suplimentar. O scriem la a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică peste a doua fracție și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum avem totul pregătit pentru adăugare. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

Acest lucru completează exemplul. Se dovedește a adăuga.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi, de asemenea, descrisă folosind o imagine. Reducând fracțiile și la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași bucăți de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen reprezintă o fracție (patru piese din șase), iar al doilea desen reprezintă o fracție (trei piese din șase). Adăugând aceste piese obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este improprie, așa că am evidențiat întreaga parte a ei. Drept urmare, am primit (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

Vă rugăm să rețineți că am descris acest exemplu prea detaliat. În instituțiile de învățământ nu este obișnuit să scrieți atât de detaliat. Trebuie să puteți găsi rapid LCM a ambilor numitori și factori suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și o altă față a monedei. Dacă nu luați note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci încep să apară întrebări de acest fel. „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Obținem al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Obținem al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii lor suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții cu aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Tot ce rămâne este să adunăm aceste fracții. Adaugă:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, este mutată pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul noii linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci evidențiați întreaga parte din el

Am primit o fracție improprie în răspunsul nostru. Trebuie să evidențiem o întreagă parte din ea. Subliniem:

Am primit un răspuns

Scăderea fracțiilor cu numitori similari

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

În primul rând, să învățăm cum să scădem fracții cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții, dar numitorul rămâne același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, din numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, puteți scădea o fracție dintr-o fracție deoarece fracțiile au aceiași numitori. Dar nu puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește folosind același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie deasupra primei fracții. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care este scris deasupra celei de-a doua fracții.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. Ca rezultat al acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți sunt convertite în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1. Găsiți sensul expresiei:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

Mai întâi găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum să revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțiți 12 la 3, obținem 4. Scrieți un patru deasupra primei fracții:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți trei peste a doua fracție:

Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

Am primit un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza

Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Dacă am fi la școală, ar trebui să rezolvăm mai scurt acest exemplu. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Reducând aceste fracții la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor):

Prima imagine arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei bucăți din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

Să găsim LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțim 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune obișnuită și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o simplificăm. Ce se poate face? Puteți scurta această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (GCD) numerelor 20 și 30.

Deci, găsim mcd-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la mcd găsit, adică la 10

Am primit un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acel număr și să lăsați numitorul neschimbat.

Exemplul 1. Înmulțiți o fracție cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Înregistrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza o dată, primești pizza

Din legile înmulțirii știm că dacă multiplicandul și factorul sunt schimbate, produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui număr întreg și a unei fracții funcționează:

Această notație poate fi înțeleasă ca luând jumătate din unu. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei 4 pizza, vei primi două pizza întregi

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul, obținem expresia . De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Numărul înmulțit cu fracția și numitorul fracției se rezolvă dacă au un factor comun mai mare decât unu.

De exemplu, o expresie poate fi evaluată în două moduri.

Prima cale. Înmulțiți numărul 4 cu numărătorul fracției și lăsați numitorul fracției neschimbat:

A doua cale. Cele patru fiind înmulțite și cele patru din numitorul fracției pot fi reduse. Acești patru patru pot fi reduse cu 4, deoarece cel mai mare divizor comun pentru doi patru este patru însuși:

Am obținut același rezultat 3. După reducerea celor patru, în locul lor se formează numere noi: două. Dar înmulțirea unuia cu trei și apoi împărțirea la unu nu schimbă nimic. Prin urmare, soluția poate fi scrisă pe scurt:

Reducerea poate fi efectuată chiar și atunci când am decis să folosim prima metodă, dar la etapa înmulțirii numărului 4 și numărătorului 3 am decis să folosim reducerea:

Dar, de exemplu, expresia poate fi calculată numai în primul mod - înmulțiți 7 cu numitorul fracției și lăsați numitorul neschimbat:

Acest lucru se datorează faptului că numărul 7 și numitorul fracției nu au un divizor comun mai mare de unu și, în consecință, nu se anulează.

Unii elevi scurtează din greșeală numărul înmulțit și numărătorul fracției. Nu poți face asta. De exemplu, următoarea intrare nu este corectă:

Reducerea unei fracții înseamnă că atât numărătorul cât și numitorul va fi împărțit la același număr. În situația cu expresia, împărțirea se efectuează numai la numărător, deoarece scrierea aceasta este la fel cu scrierea . Vedem că împărțirea se efectuează numai la numărător și nu are loc nicio împărțire la numitor.

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei.

Am primit un răspuns. Este recomandabil să reduceți această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom face pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza, împărțită în trei părți:

O bucată din această pizza și cele două bucăți pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, vorbim de pizza de aceeași dimensiune. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție obișnuită, dar ar fi bine dacă ar fi scurtat. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim mcd-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la mcd-ul pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Acest lucru nu va schimba sensul lui cinci, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știm, este egal cu cinci:

Numerele reciproce

Acum ne vom familiariza cu un subiect foarte interesant în matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiție. Inversa la numărA este un număr care, atunci când este înmulțit cuA dă unul.

Să înlocuim în această definiție în locul variabilei A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este un număr care, atunci când este înmulțit cu 5 dă unul.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că este posibil. Să ne imaginăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar cu capul în jos:

Ce se va întâmpla ca urmare a acestui fapt? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul , deoarece atunci când înmulțiți 5 cu obțineți unul.

Reciproca unui număr poate fi găsită și pentru orice alt întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca oricărei alte fracții. Pentru a face acest lucru, doar întoarceți-l.

Împărțirea unei fracții la un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câtă pizza va primi fiecare persoană?

Se poate observa că după împărțirea jumătății de pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare dintre acestea constituind o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Este destul de important chiar și în viața de zi cu zi. Scăderea poate fi adesea utilă atunci când numărați schimbarea la magazin. De exemplu, ai o mie (1000) de ruble la tine, iar achizițiile tale se ridică la 870. Înainte de a plăti, vei întreba: „Câtă schimbare îmi mai rămâne?” Deci, 1000-870 va fi 130. Și există multe tipuri diferite de calcule și, fără a stăpâni acest subiect, va fi dificil în viața reală Scăderea este o operație aritmetică în care al doilea număr este scăzut din primul număr și rezultatul este al treilea.

Formula de adăugare este exprimată după cum urmează: a - b = c

A– Vasya a avut mere inițial.

b– numărul de mere date lui Petya.

c– Vasya are mere după transfer.

Să o punem în formula:

Scăderea numerelor

Scăderea numerelor este ușor de învățat pentru orice elev de clasa întâi. De exemplu, trebuie să scazi 5 din 6. 6-5=1, 6 este mai mare decât numărul 5 cu unul, ceea ce înseamnă că răspunsul va fi unul. Pentru a verifica, puteți adăuga 1+5=6. Dacă nu sunteți familiarizat cu adăugarea, o puteți citi pe a noastră.

Un număr mare este împărțit în părți, să luăm numărul 1234 și în el: 4 unități, 3 zeci, 2 sute, 1 mie. Dacă scădeți unitățile, atunci totul este ușor și simplu. Dar să luăm un exemplu: 14-7. În numărul 14: 1 este zeci, iar 4 este unu. 1 zece – 10 unități. Apoi obținem 10+4-7, să facem asta: 10-7+4, 10 – 7 =3 și 3+4=7. Răspunsul a fost găsit corect!

Luați în considerare exemplul 23 -16. Primul număr este 2 zeci și 3 unități, iar al doilea este 1 zece și 6 unități. Să ne imaginăm numărul 23 ca 10+10+3 și 16 ca 10+6, apoi imaginați-vă 23-16 ca 10+10+3-10-6. Apoi 10-10=0, care lasă 10+3-6, 10-6=4, apoi 4+3=7. Răspunsul a fost găsit!

La fel se procedează cu sute și mii.

Scăderea coloanei

Răspuns: 3411.

Scăderea fracțiilor

Să ne imaginăm un pepene verde. Un pepene verde este un întreg, iar dacă îl tăiem în jumătate, obținem ceva mai puțin decât unul, nu? O jumătate de unitate. Cum să notez asta?

½, deci desemnăm jumătate dintr-un pepene întreg, iar dacă împărțim pepenele în 4 părți egale, atunci fiecare dintre ele va fi desemnată ¼. Și așa mai departe…

scăderea fracțiilor, cum e?

E simplu. Scădeți ¼ din 2/4. La scădere, este important ca numitorul (4) al unei fracții să coincidă cu numitorul celei de-a doua. (1) și (2) se numesc numărători.

Deci, să scădem. Ne-am asigurat că numitorii sunt aceiași. Apoi scădem numărătorii (2-1)/4, deci obținem 1/4.

Scăderea limitelor

Scăderea limitelor nu este dificilă. Este suficientă aici o formulă simplă, care spune că dacă limita diferenței de funcții tinde către numărul a, atunci aceasta este echivalentă cu diferența acestor funcții, limita fiecăreia dintre acestea tinde către numărul a.

Scăderea numerelor mixte

Un număr mixt este un număr întreg cu o parte fracțională. Adică, dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât unu, iar dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, atunci fracția este mai mare decât unu. Un număr mixt este o fracție care este mai mare decât unu și a cărei parte întreagă este evidențiată, să o ilustrăm cu un exemplu:

Pentru a scădea numere mixte, aveți nevoie de:

Reduceți fracțiile la un numitor comun.

Adăugați întreaga parte la numărător

Efectuați calculul

Lecția de scădere

Scăderea este o operație aritmetică în care se caută diferența dintre 2 numere și răspunsul este al treilea Formula de adunare se exprimă astfel: a - b = c.

Mai jos puteți găsi exemple și sarcini.

La scăderea fracțiilor trebuie retinut ca:

Având în vedere fracția 7/4, aflăm că 7 este mai mare decât 4, ceea ce înseamnă că 7/4 este mai mare decât 1. Cum se selectează întreaga parte? (4+3)/4, atunci obținem suma fracțiilor 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Rezultat: un întreg, trei sferturi.

Scădere clasa I

Clasa întâi este începutul călătoriei, începutul predării și învățării elementelor de bază, inclusiv scăderea. Învățarea trebuie făcută într-un mod ludic. În clasa întâi, calculele încep întotdeauna cu exemple simple despre mere, bomboane și pere. Această metodă este folosită nu degeaba, ci pentru că copiii sunt mult mai interesați atunci când se joacă cu ei. Și acesta nu este singurul motiv. Copiii au văzut mere, bomboane și altele asemenea foarte des în viața lor și s-au confruntat cu transferul și cantitatea, așa că predarea adăugării unor astfel de lucruri nu va fi dificilă.

Puteți veni cu o mulțime de probleme de scădere pentru elevii de clasa întâi, de exemplu:

Sarcina 1. Dimineața, în timp ce se plimba prin pădure, ariciul a găsit 4 ciuperci, iar seara, când a venit acasă, ariciul a mâncat 2 ciuperci la cină. Câte ciuperci au mai rămas?

Sarcina 2. Masha a mers la magazin să cumpere pâine. Mama i-a dat lui Masha 10 ruble, iar pâinea costă 7 ruble. Câți bani ar trebui să aducă Masha acasă?

Sarcina 3.În magazin dimineața erau 7 kilograme de brânză pe tejghea. Înainte de prânz, vizitatorii cumpărau 5 kilograme. Câte kilograme au mai rămas?

Sarcina 4. Roma a luat în curte bomboanele pe care i le-a dat tatăl său. Roma avea 9 bomboane, iar prietenului său Nikita i-a dat 4. Câte bomboane mai are Roma?

Elevii de clasa I rezolvă în mare parte probleme în care răspunsul este un număr de la 1 la 10.

Scădere clasa a II-a

A doua clasă este deja mai mare decât prima și, în consecință, și exemplele pentru soluție. Asadar, haideti sa începem:

Sarcini numerice:

Numere cu o singură cifră:

1. 10 - 5 =
2. 7 - 2 =
3. 8 - 6 =
4. 9 - 1 =
5. 9 - 3 - 4 =
6. 8 - 2 - 3 =
7. 9 - 9 - 0 =
8. 4 - 1 - 3 =

Cifre duble:

1. 10 - 10 =
2. 17 - 12 =
3. 19 - 7 =
4. 15 - 8 =
5. 13 - 7 =
6. 64 - 37 =
7. 55 - 53 =
8. 43 - 12 =
9. 34 - 25 =
10. 51 - 17 - 18 =
11. 47 - 12 - 19 =
12. 31 - 19 - 2 =
13. 99 - 55 - 33 =

Probleme de cuvinte

Scăderea nota 3-4

Esența scăderii în clasele 3-4 este scăderea în coloană a numerelor mari.

Să ne uităm la exemplul 4312-901. Mai întâi, să scriem numerele unul sub celălalt, astfel încât din numărul 901, unul este sub 2, 0 este sub 1, 9 este sub 3.

Apoi scadem de la dreapta la stanga, adica din numarul 2 numarul 1. Obtinem unul:

Scăzând nouă din trei, trebuie să împrumuți 1 zece. Adică scădeți 1 zece din 4. 10+3-9=4.

Și din moment ce 4 a luat 1, atunci 4-1=3

Răspuns: 3411.

Scădere clasa a V-a

Clasa a cincea este momentul de a lucra la fracții complexe cu numitori diferiți. Să repetăm ​​regulile: 1. Se scad numeratorii, nu numitorii.

Deci, să scădem. Ne-am asigurat că numitorii sunt aceiași. Apoi scădem numărătorii (2-1)/4, deci obținem 1/4. Când se adună fracții, se scad doar numărătorii!

2. Pentru a efectua scăderea, asigurați-vă că numitorii sunt egali.

Dacă întâlniți o diferență între fracții, de exemplu, 1/2 și 1/3, atunci va trebui să înmulțiți nu o fracție, ci ambele, pentru a o aduce la un numitor comun. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să înmulțim prima fracție cu numitorul celei de-a doua, iar a doua fracție cu numitorul primei, obținem: 3/6 și 2/6. Adăugați (3-2)/6 și obțineți 1/6.

3. Reducerea unei fracții se face prin împărțirea numărătorului și numitorului la același număr.

Fracția 2/4 poate fi convertită în forma ½. De ce? Ce este o fracție? ½ = 1:2, iar dacă împărțiți 2 la 4, atunci aceasta este la fel cu împărțirea 1 la 2. Prin urmare, fracția 2/4 = 1/2.

4. Dacă fracția este mai mare decât unu, atunci întreaga parte poate fi selectată.

Având în vedere fracția 7/4, aflăm că 7 este mai mare decât 4, ceea ce înseamnă că 7/4 este mai mare decât 1. Cum se selectează întreaga parte? (4+3)/4, atunci obținem suma fracțiilor 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Rezultat: un întreg, trei sferturi.

Prezentarea scăderii

Linkul către prezentare este mai jos. Prezentarea examinează întrebările de bază ale scăderii de clasa a VI-a: Descărcați prezentarea

Prezentarea adunării și scăderii

Exemple de adunare și scădere

Jocuri pentru dezvoltarea aritmeticii mentale

Jocurile educaționale speciale dezvoltate cu participarea oamenilor de știință ruși de la Skolkovo vor ajuta la îmbunătățirea abilităților de aritmetică mentală într-o formă de joc interesantă.

Jocul „Numărătoare rapidă”

Jocul „numărătoare rapidă” vă va ajuta să vă îmbunătățiți gândire. Esența jocului este că, în imaginea care ți se prezintă, va trebui să alegi răspunsul „da” sau „nu” la întrebarea „există 5 fructe identice?” Urmează-ți obiectivul, iar acest joc te va ajuta în acest sens.

Jocul „Matrici matematice”

„Matricele matematice” este grozav exerciții pentru creier pentru copii, care vă va ajuta să vă dezvoltați munca mentală, calculul mental, căutarea rapidă a componentelor necesare și atenția. Esența jocului este că jucătorul trebuie să găsească o pereche din cele 16 numere propuse care se vor însuma la un anumit număr, de exemplu în imaginea de mai jos numărul dat este „29”, iar perechea dorită este „5”. și „24”.

Jocul „Number Span”

Jocul numeric span vă va provoca memoria în timp ce exersați acest exercițiu.

Esența jocului este să vă amintiți numărul, care durează aproximativ trei secunde pentru a vă aminti. Atunci trebuie să-l reproduci. Pe măsură ce progresezi prin etapele jocului, numărul de numere crește, începând cu doi și mai departe.

Jocul „Comparații matematice”

Un joc grozav cu care poți să-ți relaxezi corpul și să-ți încordezi creierul. Captura de ecran arată un exemplu al acestui joc, în care va fi o întrebare legată de imagine și va trebui să răspundeți. Timpul este limitat. Cât timp vei avea să răspunzi?

Jocul „Ghicește operațiunea”

Jocul „Guess the Operation” dezvoltă gândirea și memoria. Principalul punct al jocului este alegerea unui semn matematic pentru ca egalitatea să fie adevărată. Pe ecran sunt date exemple, priviți cu atenție și puneți semnul „+” sau „-” necesar pentru ca egalitatea să fie adevărată. Semnele „+” și „-” sunt situate în partea de jos a imaginii, selectați semnul dorit și faceți clic pe butonul dorit. Dacă ai răspuns corect, câștigi puncte și continui să joci.

Jocul „Simplificare”

Jocul „Simplificare” dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este efectuarea rapidă a unei operații matematice. Un elev este desenat pe ecran la tablă și este dată o operație matematică, elevul trebuie să calculeze acest exemplu și să scrie răspunsul. Mai jos sunt trei răspunsuri, numărați și faceți clic pe numărul de care aveți nevoie folosind mouse-ul. Dacă ai răspuns corect, câștigi puncte și continui să joci.

Joc de geometrie vizuală

Jocul „Geometria vizuală” dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este să numărați rapid numărul de obiecte umbrite și să îl selectați din lista de răspunsuri. În acest joc, pătratele albastre sunt afișate pe ecran pentru câteva secunde, trebuie să le numărați rapid, apoi se închid. Sub tabel sunt scrise patru numere, trebuie să selectați un număr corect și să faceți clic pe el cu mouse-ul. Dacă ai răspuns corect, câștigi puncte și continui să joci.

Jocul „Pușculița”

Jocul Pușculiță dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este să alegi care pușculiță are mai mulți bani. În acest joc există patru pușculițe, trebuie să numeri care pușculiță are cei mai mulți bani și să arăți această pușculiță cu mouse-ul. Dacă ați răspuns corect, atunci câștigați puncte și continuați să jucați.

Dezvoltarea aritmeticii mentale fenomenale

Ne-am uitat doar la vârful aisbergului, pentru a înțelege mai bine matematica - înscrieți-vă la cursul nostru: Accelerarea aritmetică mentală - NU aritmetica mentală.

Din curs nu numai că vei învăța zeci de tehnici de înmulțire simplificată și rapidă, adunare, înmulțire, împărțire și calculare a procentelor, dar le vei exersa și în sarcini speciale și jocuri educative! Aritmetica mentală necesită, de asemenea, multă atenție și concentrare, care sunt antrenate activ atunci când rezolvă probleme interesante.

Secretele fitness-ului creierului, memoria antrenamentului, atenție, gândire, numărare

Creierul, ca și corpul, are nevoie de fitness. Exercițiile fizice întăresc corpul, exercițiile mentale dezvoltă creierul. 30 de zile de exerciții utile și jocuri educaționale pentru a dezvolta memoria, concentrarea, inteligența și viteza de citire vor întări creierul, transformându-l într-o nucă greu de spart.

Banii și mentalitatea milionară

De ce sunt probleme cu banii? În acest curs vom răspunde în detaliu la această întrebare, vom analiza în profunzime problema și vom analiza relația noastră cu banii din punct de vedere psihologic, economic și emoțional. Din curs vei afla ce trebuie să faci pentru a-ți rezolva toate problemele financiare, a începe să economisești bani și a-i investi în viitor.

Cunoașterea psihologiei banilor și a modului de lucru cu ei face ca o persoană să fie milionară. 80% dintre oameni iau mai multe credite pe măsură ce veniturile lor cresc, devenind și mai sărace. Pe de altă parte, milionarii auto-făcuți vor câștiga din nou milioane în 3-5 ani dacă vor începe de la zero. Acest curs vă învață cum să distribuiți corect veniturile și să reduceți cheltuielile, vă motivează să studiați și să atingeți obiectivele, vă învață cum să investiți bani și să recunoașteți o înșelătorie.

Acțiuni cu fracții.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Deci, ce sunt fracțiile, tipurile de fracții, transformările - ne-am amintit. Să trecem la problema principală.

Ce poți face cu fracțiile? Da, totul este la fel ca în cazul numerelor obișnuite. Adunați, scădeți, înmulțiți, împărțiți.

Toate aceste acțiuni cu zecimal lucrul cu fracții nu este diferit de lucrul cu numere întregi. De fapt, asta este ceea ce este bun la ei, zecimale. Singurul lucru este că trebuie să puneți virgula corect.

Numere mixte, așa cum am spus deja, sunt de puțin folos pentru majoritatea acțiunilor. Mai trebuie convertite în fracții obișnuite.

Dar acțiunile cu fracții obișnuite vor fi mai vicleni. Și mult mai important! Lasă-mă să-ți amintesc: toate acțiunile cu expresii fracționale cu litere, sinusuri, necunoscute și așa mai departe nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite! Operațiile cu fracții obișnuite stau la baza tuturor algebrei. Din acest motiv vom analiza aici toată această aritmetică în detaliu.

Adunarea și scăderea fracțiilor.

Toată lumea poate adăuga (scădea) fracții cu aceiași numitori (sper foarte mult!). Ei bine, permiteți-mi să le reamintesc celor care sunt complet uituci: la adunarea (scăderea), numitorul nu se schimbă. Număratorii sunt adăugați (scădeți) pentru a da numărătorul rezultatului. Tip:

Pe scurt, în termeni generali:

Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? Apoi, folosind proprietatea de bază a unei fracții (aici ne este util din nou!), facem numitorii la fel! De exemplu:

Aici a trebuit să facem fracția 4/10 din fracția 2/5. În scopul unic de a face numitorii la fel. Permiteți-mi să notez, pentru orice eventualitate, că 2/5 și 4/10 sunt aceeași fracție! Doar 2/5 sunt incomod pentru noi, iar 4/10 sunt chiar ok.

Apropo, aceasta este esența rezolvării oricăror probleme de matematică. Când noi din incomod facem expresii același lucru, dar mai convenabil de rezolvat.

Alt exemplu:

Situația este similară. Aici facem 48 din 16. Prin înmulțire simplă cu 3. Toate acestea sunt clare. Dar am dat peste ceva de genul:

Cum sa fii?! E greu să faci un nouă din șapte! Dar suntem deștepți, știm regulile! Să ne transformăm fiecare fracție astfel încât numitorii să fie aceiași. Aceasta se numește „reducere la un numitor comun”:

Wow! De unde am știut despre 63? Foarte simplu! 63 este un număr care este divizibil cu 7 și 9 în același timp. Un astfel de număr poate fi întotdeauna obținut prin înmulțirea numitorilor. Dacă înmulțim un număr cu 7, de exemplu, atunci rezultatul va fi cu siguranță divizibil cu 7!

Dacă trebuie să adunați (scădeți) mai multe fracții, nu este nevoie să o faceți în perechi, pas cu pas. Trebuie doar să găsiți numitorul comun tuturor fracțiilor și să reduceți fiecare fracție la același numitor. De exemplu:

Și care va fi numitorul comun? Puteți, desigur, să înmulțiți 2, 4, 8 și 16. Obținem 1024. Coșmar. Este mai ușor de estimat că numărul 16 este perfect divizibil cu 2, 4 și 8. Prin urmare, din aceste numere este ușor să obțineți 16. Acest număr va fi numitorul comun. Să transformăm 1/2 în 8/16, 3/4 în 12/16 și așa mai departe.

Apropo, dacă iei 1024 ca numitor comun, totul se va rezolva, până la urmă totul se va reduce. Dar nu toată lumea va ajunge la acest scop, din cauza calculelor...

Completați singur exemplul. Nu un fel de logaritm... Ar trebui să fie 29/16.

Deci, adunarea (scăderea) fracțiilor este clară, sper? Desigur, este mai ușor să lucrezi într-o versiune scurtată, cu multiplicatori suplimentari. Dar această plăcere este la îndemâna celor care au lucrat cinstit în clasele inferioare... Și nu au uitat nimic.

Și acum vom face aceleași acțiuni, dar nu cu fracții, ci cu expresii fracționale. Un nou rake va fi dezvăluit aici, da...

Deci, trebuie să adăugăm două expresii fracționale:

Trebuie să facem numitorii la fel. Și numai cu ajutorul multiplicare! Aceasta este ceea ce dictează proprietatea principală a unei fracții. Prin urmare, nu pot adăuga unul la X în prima fracție din numitor. (ar fi drăguț!). Dar dacă înmulți numitorii, vezi, totul crește împreună! Deci notăm linia fracției, lăsăm un spațiu gol în partea de sus, apoi îl adunăm și scriem produsul numitorilor de mai jos, pentru a nu uita:

Și, desigur, nu înmulțim nimic pe partea dreaptă, nu deschidem parantezele! Și acum, privind numitorul comun din partea dreaptă, realizăm: pentru a obține numitorul x(x+1) în prima fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul acestei fracții cu (x+1) . Și în a doua fracție - la x. Asta este ceea ce obțineți:

Notă! Iată parantezele! Aceasta este grebla pe care mulți oameni o calcă. Nu paranteze, desigur, ci absența lor. Parantezele apar pentru că ne înmulțim toate numărător și toate numitor! Și nu piesele lor individuale...

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, totul este ca în fracții numerice, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică. Înmulțim totul și dăm altele asemănătoare. Nu este nevoie să deschideți parantezele în numitori sau să înmulțiți nimic! In general, in numitori (oricare) produsul este intotdeauna mai placut! Primim:

Deci am primit răspunsul. Procesul pare lung și dificil, dar depinde de practică. Odată ce rezolvi exemplele, te obișnuiești, totul va deveni simplu. Cei care au stăpânit fracțiile la timp fac toate aceste operațiuni cu o singură mână stângă, automat!

Și încă o notă. Mulți se ocupă inteligent de fracții, dar rămân blocați cu exemple întreg numere. Cum ar fi: 2 + 1/2 + 3/4= ? Unde să fixați cele două piese? Nu trebuie să-l fixați nicăieri, trebuie să faceți o fracțiune din două. Nu este ușor, dar foarte simplu! 2=2/1. Ca aceasta. Orice număr întreg poate fi scris ca fracție. Numătorul este numărul în sine, numitorul este unul. 7 este 7/1, 3 este 3/1 și așa mai departe. La fel este și cu literele. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 etc. Și apoi lucrăm cu aceste fracții conform tuturor regulilor.

Ei bine, cunoștințele de adunare și scădere de fracții au fost reîmprospătate. S-a repetat conversia fracțiilor de la un tip la altul. De asemenea, puteți fi verificat. O rezolvăm puțin?)

Calculati:

Răspunsuri (în dezordine):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Înmulțirea/împărțirea fracțiilor – în lecția următoare. Există, de asemenea, sarcini pentru toate operațiunile cu fracții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Această lecție va acoperi adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori similari. Știm deja cum să adunăm și să scădem fracții comune cu numitori similari. Se pare că fracțiile algebrice urmează aceleași reguli. A învăța să lucrezi cu fracții cu numitori similari este una dintre pietrele de temelie ale învățării cum să lucrezi cu fracții algebrice. În special, înțelegerea acestui subiect va facilita stăpânirea unui subiect mai complex - adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Ca parte a lecției, vom studia regulile de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu numitori similari și, de asemenea, vom analiza o serie de exemple tipice

Regula pentru adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori similari

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fracții de la one-on-to-you -mi know-me-na-te-la-mi (coincide cu regula analogă pentru lovituri obișnuite): Adică pentru adăugarea sau calcularea fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih cu unu-to-you know-me-on-the-la-mi necesar -ho-di-mo-compilați o al-geb-ra-i-che-sum corespunzătoare de numere, iar semnul-me-na-tel pleacă fără niciunul.

Înțelegem această regulă atât pentru exemplul ven-draws obișnuiți, cât și pentru exemplul al-geb-ra-i-che-draws.

Exemple de aplicare a regulii pentru fracțiile ordinare

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie

Să adunăm numărul de fracții și să lăsăm semnul același. După aceasta, descompunem numărul și semnăm în multiplicități și combinații simple. Sa o luam: .

Notă: o eroare standard care este permisă atunci când se rezolvă tipuri similare de exemple, pentru -klu-cha-et-sya în următoarea soluție posibilă: . Aceasta este o greșeală gravă, deoarece semnul rămâne același ca în fracțiile originale.

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie

Acesta nu este cu nimic diferit de precedentul: .

Exemple de aplicare a regulii pentru fracțiile algebrice

De la dro-beat-uri obișnuite, trecem la al-geb-ra-i-che-skim.

Exemplul 3. Adunarea fracțiilor: .

Soluție: așa cum am menționat deja mai sus, compoziția fracțiunilor al-geb-ra-i-che nu este în niciun fel diferită de cuvântul la fel ca și luptele obișnuite. Prin urmare, metoda de rezolvare este aceeași: .

Exemplul 4. Tu ești fracția: .

Soluţie

You-chi-ta-nie a fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih din adunare numai prin faptul că în numărul pi-sy-va-et-sya diferența în numărul de fracții utilizate. De aceea .

Exemplul 5. Tu ești fracția: .

Soluție: .

Exemplul 6. Simplificați: .

Soluție: .

Exemple de aplicare a regulii urmate de reducere

Într-o fracție care are aceeași semnificație în rezultatul combinării sau al calculului, combinațiile sunt posibile nia. În plus, nu trebuie să uitați de ODZ al fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih.

Exemplul 7. Simplificați: .

Soluție: .

în care . În general, dacă ODZ a fracțiilor inițiale coincide cu ODZ a totalului, atunci poate fi omis (la urma urmei, fracția se află în răspuns, nu va exista nici cu modificările semnificative corespunzătoare). Dar dacă ODZ al fracțiilor utilizate și răspunsul nu se potrivesc, atunci ODZ trebuie indicat.

Exemplul 8. Simplificați: .

Soluție: . În același timp, y (ODZ a fracțiilor inițiale nu coincide cu ODZ a rezultatului).

Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Pentru a adăuga și a citi fracții al-geb-ra-i-che-cu diferite cunoștințe pe-la-mi, facem ana-lo -giyu cu fracții obișnuite-ven-ny și le transferăm în al-geb -ra-i-che-fractions.

Să ne uităm la cel mai simplu exemplu pentru fracțiile obișnuite.

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Să ne amintim regulile de adunare a fracțiilor. Pentru a începe cu o fracție, este necesar să o aduceți la un semn comun. În rolul unui semn general pentru fracțiile obișnuite, acționezi cel mai mic multiplu comun(NOK) semne inițiale.

Definiție

Cel mai mic număr, care se împarte în același timp în numere și.

Pentru a găsi NOC, trebuie să împărțiți cunoștințele în seturi simple și apoi să selectați tot ce sunt multe, care sunt incluse în împărțirea ambelor semne.

; . Atunci LCM-ul numerelor trebuie să includă doi doi și doi trei: .

După găsirea cunoștințelor generale, este necesar ca fiecare dintre fracții să găsească un rezident de multiplicitate completă (de fapt, de fapt, să turnăm semnul comun pe semnul fracției corespunzătoare).

Apoi fiecare fracție este înmulțită cu un factor pe jumătate. Să obținem câteva fracții din aceleași pe care le cunoașteți, să le adunăm și să le citim - studiate în lecțiile anterioare.

Hai sa mancam: .

Răspuns:.

Să ne uităm acum la compoziția fracțiilor al-geb-ra-i-che cu semne diferite. Acum să ne uităm la fracții și să vedem dacă există numere.

Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Al-go-ritmul deciziei ab-so-lyut-dar ana-lo-gi-chen la exemplul anterior. Este ușor să luați semnul comun al fracțiilor date: și multiplicatori suplimentari pentru fiecare dintre ele.

.

Răspuns:.

Deci, hai să ne formăm al-go-ritmul de adunare și de calcul al fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih cu semne diferite:

1. Găsiți cel mai mic semn comun al fracției.

2. Găsiți multiplicatori suplimentari pentru fiecare dintre fracții (într-adevăr, semnul comun al semnului este dat -a fracție).

3. Până la mai multe numere pe multiplicitățile corespunzătoare până la maxim.

4. Adaugă sau calculează fracții, folosind regulile de compus și calcul al fracțiilor cu aceleași cunoștințe -me-na-te-la-mi.

Acum să ne uităm la un exemplu cu fracții, în semnul căruia sunt litere tu -nia.